如果手指被老鼠咬出血红肿，应该立即采取以下措施：
1. 清洗伤口：用温水和肥皂清洗伤口，以避免感染。
2. 停止出血：用干净的纱布或绷带轻轻包扎伤口，以停止出血。
3. 应用冰袋：将冰袋放在伤口上，以减轻肿胀和疼痛。
4. 就医：如果伤口很深或出现感染症状，应尽快就医。
手指被老鼠咬出血红肿的原因可能是老鼠携带病菌或病毒，导致伤口感染。此外，老鼠的牙齿也可能会将细菌带入伤口，导致感染。因此，应该尽量避免与老鼠接触，保持环境清洁卫生，防止老鼠进入室内。如果必须处理老鼠，应该戴上手套和口罩，以避免被咬伤。